微积分学示例

$x y = 6$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x y) = \frac{d}{d y} (6)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y$ 。

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x + y x'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$y x' + x$

解题步骤 3

因为 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y x' + x = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y x' = - x$

解题步骤 5.2

将 $y x' = - x$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $y x' = - x$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- x}{y}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{x}{y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

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