微积分学示例

$y = \frac{x^{3}}{3} - x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - x)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x^{2} - 1$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

微积分学 示例

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