微积分学示例

$y = x^{3} \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{3} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.11

化简表达式。

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解题步骤 4.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.11.2

将 $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

解题步骤 4.13

将 $3$ 移到 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

解题步骤 4.14

用公分母合并 $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 。

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解题步骤 4.14.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.14.2

要将 $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.3

组合 $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.15

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.16.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17

化简 $6 x^{2} {(x + 1)}^{1}$ 。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18

化简。

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解题步骤 4.18.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2

化简分子。

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解题步骤 4.18.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.18.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.18.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2.2

将 $x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$\frac{7 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.3

从 $7 x^{3} + 6 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.18.3.1

从 $7 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (7 x) + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.3.2

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.3.3

从 $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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