微积分学示例

$- 2 \cot (x) + 6 x^{4} \csc (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 2 \cot (x) + 6 x^{4} \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$

解题步骤 2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- 2 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{4} \csc (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{4} \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{4} \csc (x)]$ 。

$2 \csc^{2} (x) + 6 \frac{d}{d x} [x^{4} \csc (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$2 \csc^{2} (x) + 6 (x^{4} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$2 \csc^{2} (x) + 6 (x^{4} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 \csc^{2} (x) + 6 (x^{4} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 \csc^{2} (x) + 6 (x^{4} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 (\csc (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 \csc^{2} (x) - 6 (x^{4} (\csc (x) \cot (x))) + 6 (\csc (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$2 \csc^{2} (x) - 6 x^{4} (\csc (x) \cot (x)) + 24 \csc (x) x^{3}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$- 6 x^{4} \cot (x) \csc (x) + 24 x^{3} \csc (x) + 2 \csc^{2} (x)$

微积分学 示例

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