微积分学示例

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x^{4}$ 且 $g (y) = x + y$ 。

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{4}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.5.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.6

将 $4$ 移到 $x + y$ 的左侧。

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.7

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

解题步骤 2.8.2

运用分配律。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

解题步骤 2.8.3

运用分配律。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

解题步骤 2.8.4

运用分配律。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5

合并项。

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解题步骤 2.8.5.1

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.8.5.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.8.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.5.3

将 $x^{4} x'$ 和 $4 x^{4} x'$ 相加。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

解题步骤 2.8.6

重新排序项。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = 3 x - y$ 。

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

解题步骤 3.8

将 $2$ 移到 $3 x - y$ 的左侧。

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

运用分配律。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

解题步骤 3.9.2

运用分配律。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

解题步骤 3.9.3

运用分配律。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

解题步骤 3.9.4

合并项。

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解题步骤 3.9.4.1

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

解题步骤 3.9.4.2

将 $- 1$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

解题步骤 3.9.4.3

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

解题步骤 3.9.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

解题步骤 3.9.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

解题步骤 3.9.4.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

解题步骤 3.9.4.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

解题步骤 3.9.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

解题步骤 3.9.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

解题步骤 3.9.4.10

从 $- y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 3.9.5

重新排序项。

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2} x'$ 。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x^{4}$ 。

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.3

从 $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $5 x^{4} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.3.2

从 $4 x^{3} y x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.3.3

从 $- 3 y^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.3.4

从 $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.3.5

从 $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

解题步骤 5.4

将 $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ 中的每一项除以 $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ 中的每一项都除以 $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 。

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2

化简项。

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解题步骤 5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.2

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.3

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.4

从 $6 x y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.5

从 $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.6

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.7

从 $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.2.8.1

将 $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ 重写为 $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ 。

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.8.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

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