微积分学示例

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x^{4} + 5$ 。然后使 $d u = 16 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x^{4} + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x^{4} + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x^{4} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$16 x^{3} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $16 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$16 x^{3}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $4$ 。

$\int \frac{4}{16} u d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{4}{16}$ 和 $u$ 。

$\int \frac{4 u}{16} d u$

解题步骤 2.3

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $4 x^{4} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$

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