微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x^{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} - \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{3} + \frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.5

组合 $\frac{- 3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6.2.2

约去公因数。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6.2.3

重写表达式。

$x^{3} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6.2.4

用 $- x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.5.1

约去公因数。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - x^{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + 0$

解题步骤 1.5.3

将 $x^{3} - x^{2} + x + 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - x^{2} + x + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - x^{2} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 1 + 0$

解题步骤 2.3.3

将 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 1$

微积分学 示例

微积分学示例