微积分学示例

$y = x^{2} \cos (x)$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (x^{2} \cos (x))$ 重写为 $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ 。

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

解题步骤 2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2})$ 。

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 3.2.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 3.2.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 3.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.5

化简。

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解题步骤 3.2.5.1

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

解题步骤 3.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

解题步骤 3.2.5.2.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

解题步骤 3.2.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.3.2

从 $x^{2} \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.3.3

约去公因数。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.3.4

重写表达式。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

解题步骤 5.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $x^{2} \cos (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

解题步骤 5.5

将 $- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

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