微积分学示例

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{5}}{10}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{5}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.5

约去 $5$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{6 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{- 3}{6}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

解题步骤 3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

解题步骤 3.11

约去 $- 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

解题步骤 3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.2.1

从 $6 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

解题步骤 3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

解题步骤 3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

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