微积分学示例

$\int \frac{5 t^{2} + 7}{t^{\frac{4}{3}}} d t$

解题步骤 1

通过将 $t^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (5 t^{2} + 7) {(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d t$

解题步骤 2

将 ${(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.2

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{- 4}{3}} d t$

解题步骤 2.3

将负号移到分数的前面。

$\int (5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3

展开 $(5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int 5 t^{2} t^{- \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 5 t^{2 - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int 5 t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int 5 t^{\frac{6 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.6.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$\int 5 t^{\frac{2}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

解题步骤 3.7

将 $5 t^{\frac{2}{3}}$ 和 $7 t^{- \frac{4}{3}}$ 重新排序。

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} + 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 5

由于 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{- \frac{4}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $- 3 t^{- \frac{1}{3}}$ 。

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 \int t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t^{\frac{2}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ 。

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$7 (- 3 \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ 。

$7 \frac{- 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$7 (- \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.4

组合 $- 7$ 和 $\frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{- 7 \cdot 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.5

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.7

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $t^{\frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.8

组合 $5$ 和 $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.9

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{15 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.10

从 $15 t^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.11

约去公因数。

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解题步骤 9.2.11.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

解题步骤 9.2.11.2

约去公因数。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.11.3

重写表达式。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

解题步骤 9.2.11.4

用 $3 t^{\frac{5}{3}}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{5}{3}} + C$

微积分学 示例

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