微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\sin (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\sin (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\sin (x)})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

解题步骤 3

将 $\sin (x) \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

解题步骤 4.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

解题步骤 4.1.3.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 重写为 $\sin^{- 1} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

解题步骤 4.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

解题步骤 4.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

解题步骤 4.3.4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

解题步骤 4.3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

解题步骤 4.3.6

化简。

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解题步骤 4.3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

解题步骤 4.3.6.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

解题步骤 4.6

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

解题步骤 4.7

分离分数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 4.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

解题步骤 4.9

组合 $\frac{\sin (x)}{x}$ 和 $\tan (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

解题步骤 5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 6.1.2.5.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.5.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.2.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

解题步骤 6.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{- \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5

化简。

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解题步骤 6.3.5.1

重新排序项。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.3

一的任意次幂都为一。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.4

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 6.3.5.2.5.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.5.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.5.2.5.3

约去公因数。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 6.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

要将 $\sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

解题步骤 6.4.2

在公分母上合并分子。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

解题步骤 6.5

用 $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 除以 $1$ 。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.6

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7.8

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

解题步骤 7.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

解题步骤 8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

解题步骤 8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

解题步骤 8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

解题步骤 8.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.1.4

一的任意次幂都为一。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

解题步骤 9.2.2

一的任意次幂都为一。

$e^{- \frac{0}{1}}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$e^{- 0}$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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