微积分学示例

$\frac{2 - \frac{1}{x}}{x - 3}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [2 - \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 - \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 相加。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{(x - 3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

乘。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x - 3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9

化简表达式。

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解题步骤 4.9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.1.2

约去公因数。

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.1.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

乘以 $- - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 5.4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + 1 \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 + \frac{1 + 1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5

合并项。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

合并。

$\frac{x (- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.2

重写表达式。

$\frac{x \cdot - 2 + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.5

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot x + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.6

组合 $x$ 和 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3 \cdot x}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.8

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.8.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.8.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.8.2.2

约去公因数。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.6

重新排序项。

$\frac{- 2 x - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7

化简分子。

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解题步骤 5.7.1

要将 $- 2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 2 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.2

组合 $- 2 x$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + \frac{2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.7.7

重新排序项。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.9

乘以 $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x (x {(x - 3)}^{2})}$

解题步骤 5.9.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.9.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x^{1} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1 + 1} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.10

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2}) + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2}) - (- 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.12

从 $- (2 x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.13

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.14

从 $- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.15

将 $- (2 x^{2} - 2 x + 3)$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)$ 。

$\frac{- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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