微积分学示例

$\int (\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{5}}$ 。

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4.2

通过将 $x^{\frac{2}{5}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4.3

将 ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int x^{\frac{2}{5} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\frac{2}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $- 1$ 。

$3 \int x^{\frac{2 \cdot - 1}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int x^{\frac{- 2}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 \int x^{- \frac{2}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- \frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}}$ 。

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{5}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x)$

解题步骤 8.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

解题步骤 8.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x$

解题步骤 8.2.2

通过将 $x^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.2.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 1$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{5}} d x$

解题步骤 8.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{5}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 (\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 (\frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$5 x^{\frac{3}{5}} - 2 \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$ 。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

解题步骤 10.3.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 10 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

解题步骤 10.3.3

从 $- 10 x^{\frac{4}{5}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

解题步骤 10.3.4

约去公因数。

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解题步骤 10.3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{2 (2)} + C$

解题步骤 10.3.4.2

约去公因数。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 10.3.4.3

重写表达式。

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5 x^{\frac{4}{5}}}{2} + C$

解题步骤 10.3.5

将负号移到分数的前面。

$5 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{2} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$5 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2} x^{\frac{4}{5}} + C$

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