微积分学示例

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

解题步骤 2

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (e)$

解题步骤 2.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (t)$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $\ln (t)$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 6.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\ln (t)}$ 趋于 $0$ 。

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$0 + 1$

解题步骤 6.4.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

微积分学 示例

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