微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 \frac{π}{4}} (\sin (x) + \cos (x)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) + \cos (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ 和 $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ 。

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- \cos (x) + \sin (x)$ 在 $7 (\frac{π}{4})$ 处和在 $- \frac{π}{4}$ 处的值。

$(- \cos (7 \frac{π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4})) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

组合 $7$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $7$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.5

化简每一项。

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解题步骤 6.1.5.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.5.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.5.4

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

解题步骤 6.1.5.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.5.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.1.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.1.7

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.1.8

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.8.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 6.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 6.1.8.2.2

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.8.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 6.1.8.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

解题步骤 6.1.9

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 6.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

解题步骤 6.1.9.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

解题步骤 6.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.3

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 6.4.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

解题步骤 6.5

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$0$

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