微积分学示例

$\tan^{2} (n θ)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \tan (n θ)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (n θ)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (n θ)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \tan (n θ) \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \tan (θ)$ 且 $g (θ) = n θ$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $n θ$ 。

$2 \tan (n θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [n θ])$

解题步骤 2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [n θ])$

解题步骤 2.3

使用 $n θ$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (n θ) \frac{d}{d θ} [n θ])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $n$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $n θ$ 对 $θ$ 的导数是 $n \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \frac{d}{d θ} [θ])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \cdot 1)$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$

解题步骤 3.3.2

重新排序 $2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$ 的因式。

$2 n \sec^{2} (n θ) \tan (n θ)$

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