微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{3}}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y^{3}$ 。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}})$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

合并。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{x y^{3}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

从 $x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

解题步骤 1.3.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (| x |)$ 。

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

解题步骤 3.5

去掉 ${| x |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

微积分学 示例

微积分学示例