微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + b^{2}}{x^{2} - b^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + b^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - b^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + b^{2}] - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + b^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $b^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - b^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} - b^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}]$ 。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- b^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- b^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- b^{2})) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

合并 $2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $2 x^{2} x$ 中减去 $2 x^{2} x$ 。

$\frac{2 (- b^{2}) x + 0 - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $2 (- b^{2}) x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (- b^{2}) x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 b^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

从 $- 2 b^{2} x$ 中减去 $2 b^{2} x$ 。

$\frac{- 4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = b$ 。

$- \frac{4 b^{2} x}{{((x + b) (x - b))}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

对 $(x + b) (x - b)$ 运用乘积法则。

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x + b)}^{2} {(x - b)}^{2}}$

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