微积分学示例

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} y + 2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x + 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 + 2 y'$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$2 y' + 3$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 y'$ 。

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.3

从 $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.3.2

从 $6 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.3.3

从 $- 2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.3.4

从 $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.3.5

从 $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

解题步骤 5.4

将 $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 。

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

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