微积分学示例

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

解题步骤 1

根据加法法则， $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ 对 $k$ 的导数是 $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ 。

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\sqrt{x}$ 对于 $k$ 是常数，所以 $k \sqrt{x}$ 对 $k$ 的导数是 $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ 。

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于 $n k^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

解题步骤 2.3

将 $\sqrt{x}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{k}$ 重写成 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $x$ 对于 $k$ 是常数，所以 $x k^{\frac{1}{2}}$ 对 $k$ 的导数是 $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于 $n k^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $k^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10

组合 $x$ 和 $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $k^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$

微积分学 示例

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