微积分学示例

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

解题步骤 2

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 2.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

解题步骤 2.2

对右边求导。

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解题步骤 2.2.1

对 $\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (e^{x} + x e^{x})$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

解题步骤 2.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $\ln (e^{x} + x e^{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{x} + x e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

解题步骤 2.2.3.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $e^{x} + x e^{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

解题步骤 2.2.4

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

解题步骤 2.2.4.2

根据加法法则， $e^{x} + x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

解题步骤 2.2.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

解题步骤 2.2.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 2.2.8.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.8.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 2.2.8.2.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

解题步骤 2.2.9

化简。

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解题步骤 2.2.9.1

重新排序 $\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ 的因式。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.2

从 $e^{x} + x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.9.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.2.2

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.2.3

从 $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.3

将 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.4

从 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.9.4.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.4.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.4.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.5

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.5.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.5.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

解题步骤 2.2.9.6

将 $\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ 中的因式重新排序。

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

解题步骤 3

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

解题步骤 4

约去 $\ln (e^{x} + x e^{x})$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

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