微积分学示例

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ 。

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 重写为 ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ 。

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

解题步骤 3.3

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 相加。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ 的左侧。

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 和 $y$ 。

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 。

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.5

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

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