微积分学示例

${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

解题步骤 8.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

解题步骤 8.3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

解题步骤 8.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 13.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 15

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$ 。

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解题步骤 17.3.1

运用分配律。

$2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.3.2

运用分配律。

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.3.3

运用分配律。

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.4.1

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1.1

约去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.1.1

约去公因数。

解题步骤 17.4.1.1.2

重写表达式。

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.2

约去 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.2.1

将 $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.2.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.2.3

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x^{\frac{2}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.2.4

约去公因数。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot 1 \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.2.5

重写表达式。

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.3.1

约去公因数。

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.3.2

重写表达式。

$1 + \frac{- 1}{x^{1}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.4

化简。

$1 + \frac{- 1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.5

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.6

合并。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.7

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.4.1.7.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.7.3

在公分母上合并分子。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.7.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{1} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.8

化简 $x^{1} \cdot 2$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.10.1

约去公因数。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.10.2

重写表达式。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 17.4.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.12.1

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.12.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.12.3

约去公因数。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.12.4

重写表达式。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.13

将 $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.14

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 17.4.1.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.14.2

在公分母上合并分子。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1 + 3}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.14.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{2}}}$

解题步骤 17.4.1.14.4

用 $4$ 除以 $2$ 。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

解题步骤 17.4.1.15

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 17.4.2

将 $- \frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$1 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 17.4.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

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