微积分学示例

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ 重写为 $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ 。

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.2

乘以 $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{p^{2}}$ 。

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{p^{2}}$ 。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

解题步骤 1.3.1.6

乘以 $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

解题步骤 1.3.1.6.2

将 $\frac{1}{p^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

解题步骤 1.3.1.6.3

将 $\frac{1}{p^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{p^{2}}$ 。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

解题步骤 1.3.1.6.4

通过指数相加将 $p^{2}$ 乘以 $p^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

解题步骤 1.3.1.6.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 1.3.2

从 $- \frac{2}{p^{2}}$ 中减去 $\frac{2}{p^{2}}$ 。

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

乘以 $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{p^{2}}$ 。

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 1.4.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 1.4.2

将负号移到分数的前面。

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $p$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $p$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 6.2

通过将 $p^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 6.3

将 ${(p^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 7

根据幂法则， $p^{- 2}$ 对 $p$ 的积分是 $- p^{- 1}$ 。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 $p^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

解题步骤 8.2

将 ${(p^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

解题步骤 8.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

解题步骤 9

根据幂法则， $p^{- 4}$ 对 $p$ 的积分是 $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ 。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

解题步骤 10

化简。

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

微积分学 示例

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