微积分学示例

$\int \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{x^{2} + 3 x} d x$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{2} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x \cdot x + 3 x}$

解题步骤 2.1.1.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

解题步骤 2.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 3)$ 。

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.5

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6.1.2

用 $A (x + 3)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6.4

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 2.1.6.4.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x + 3 A + (B) (x)$

$1 = A x + 3 A + B x$

解题步骤 2.1.7

移动 $3 A$ 。

$1 = A x + B x + 3 A$

解题步骤 2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 3 A$

解题步骤 2.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

解题步骤 2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1

在 $1 = 3 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将方程重写为 $3 A = 1$ 。

$3 A = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3 A = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $3 A = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $\frac{1}{3}$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3

在 $0 = \frac{1}{3} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} + B = 0$ 。

$\frac{1}{3} + B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.4

求解方程组。

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.5

列出所有解。

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3 x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 2.5.4

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 3}$

解题步骤 2.5.5

将 $3$ 移到 $x + 3$ 的左侧。

$3 \int \frac{1}{3 x} - \frac{1}{3 (x + 3)} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int \frac{1}{3 x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

解题步骤 8

使 $u = x + 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 8.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 10

化简。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| u |)) + C$

解题步骤 11

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

解题步骤 12.1.2

组合 $\ln (| x + 3 |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{3}) + C$

解题步骤 12.2

在公分母上合并分子。

$3 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x + 3 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

解题步骤 12.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

约去公因数。

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

解题步骤 12.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$

微积分学 示例

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