微积分学示例

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

解题步骤 2.4.2

去掉多余的括号。

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $4 y$ 。

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

解题步骤 5.2

从 $- 4 x y' + 4 y y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4 x y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

解题步骤 5.2.2

从 $4 y y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

解题步骤 5.2.3

从 $4 y' (- x) + 4 y' y$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

解题步骤 5.3

将 $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ 中的每一项除以 $4 (- x + y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ 中的每一项都除以 $4 (- x + y)$ 。

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $- x + y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

从 $4 (- x + y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1

约去公因数。

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2

重写表达式。

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{1}{- x + y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- x + y) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{1}{- x + y}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(- x + y) \cdot 2$ 的因式。

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

解题步骤 5.3.3.5

要将 $\frac{y}{- x + y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.3.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (- x + y)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.6.1

将 $\frac{y}{- x + y}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3.6.2

重新排序 $(- x + y) \cdot 2$ 的因式。

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.7

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9

化简项。

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解题步骤 5.3.3.9.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.3

从 $- 1 (2) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.4

从 $2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.5

从 $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

解题步骤 5.3.3.9.7

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

解题步骤 5.3.3.9.8

从 $- (x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

解题步骤 5.3.3.9.9

将 $- (x - y)$ 重写为 $- 1 (x - y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

解题步骤 5.3.3.9.10

约去公因数。

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

解题步骤 5.3.3.9.11

重写表达式。

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

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