微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.2.5.3

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 1.1.3.1.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 1.1.3.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $4 - \sqrt{5 x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x + 1}$ 重写成 ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.9.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.9.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 x + 1$ 。

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解题步骤 1.3.9.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

解题步骤 1.3.9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

解题步骤 1.3.9.3.3

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

解题步骤 1.3.9.4

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

解题步骤 1.3.9.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

解题步骤 1.3.9.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

解题步骤 1.3.9.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.11

化简分子。

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解题步骤 1.3.9.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

解题步骤 1.3.9.14

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

解题步骤 1.3.9.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

解题步骤 1.3.9.16

组合 $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $5$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

解题步骤 1.3.9.17

将 $5$ 移到 ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.9.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.10

从 $0$ 中减去 $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

解题步骤 1.5

将 ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{5 x + 1}$ 。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

解题步骤 2.6

因为项 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

解题步骤 2.7

将极限移入根号内。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

解题步骤 2.8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 2.9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

解题步骤 2.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 1 \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

解题步骤 4.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

解题步骤 4.6

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \sqrt{16}$

解题步骤 4.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 4.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- 2 \cdot 4$

解题步骤 4.9

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8$

微积分学 示例

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