微积分学示例

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 3$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = - 3$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (- 3) + f' (- 3) (x - - 3)$

解题步骤 3

计算 $f (- 3)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

解题步骤 3.2

化简 ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - {(- 3)}^{2} + 5$

解题步骤 3.2.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 - 1 \cdot 9 + 5$

解题步骤 3.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 27 - 9 + 5$

解题步骤 3.2.3

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $- 27$ 中减去 $9$ 。

$- 36 + 5$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 36$ 和 $5$ 相加。

$- 31$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $- 3$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $3 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 2 x$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$3 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 9 - 2 \cdot - 3$

解题步骤 4.3.1.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$27 - 2 \cdot - 3$

解题步骤 4.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$27 + 6$

解题步骤 4.3.2

将 $27$ 和 $6$ 相加。

$33$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = - 31 + 33 (x - - 3)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$L (x) = - 31 + 33 x + 33 \cdot 3$

解题步骤 6.1.2

将 $33$ 乘以 $3$ 。

$L (x) = - 31 + 33 x + 99$

解题步骤 6.2

将 $- 31$ 和 $99$ 相加。

$L (x) = 33 x + 68$

解题步骤 7

微积分学 示例

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