微积分学示例

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

解题步骤 3

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2}$ 。

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

解题步骤 5.1.3

在等式两边都加上 $5$ 。

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

解题步骤 5.2

将 $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ 中的每一项除以 $- 2 x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ 中的每一项都除以 $- 2 x$ 。

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

约去公因数。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

重写表达式。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

解题步骤 5.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

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