微积分学示例

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.8

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- x}$ 和 $2 e^{- x}$ 相加。

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

解题步骤 4.3

将 $- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + 3 e^{- x}$

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