微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (- 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

解题步骤 4

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

解题步骤 5

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

解题步骤 6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\tan (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$- 2 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 7.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$- 2 (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- 2 (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (\sqrt{3} - 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

运用分配律。

$- 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.3

运用分配律。

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.5

乘以 $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 7.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.5.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.6

将负号移到分数的前面。

$- 2 \sqrt{3} + 2 - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.7

要将 $- 2 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.8

组合 $- 2 \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.10

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.11

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.14

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.16

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中减去 $5 \sqrt{3}$ 。

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$- 2.25869472 \dots$

微积分学 示例

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