微积分学示例

$\int (- x^{5} + 6 e^{- 2 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int - x^{5} + 6 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 6 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 6$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 11.2

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

解题步骤 11.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

解题步骤 11.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

解题步骤 11.2.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 \int e^{u} d u$

解题步骤 12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 (e^{u} + C)$

解题步骤 13

化简。

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{u} + C$

解题步骤 14

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{- 2 x} + C$

微积分学 示例

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