微积分学示例

$\int_{0}^{1} 14 \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

解题步骤 1

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$14 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + 7 x$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + 7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 + 7$

解题步骤 2.1.4

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$7$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 1 + 7 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 1 + 7 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 7$

解题步骤 2.5.2

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$14 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

解题步骤 3

组合 $\sqrt[3]{u}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$14 \int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$14 (\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $14$ 。

$\frac{14}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $14$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 \cdot 2}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

解题步骤 7

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $u^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{1}^{8})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.3.2

重写表达式。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.5

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$2 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.6

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.6.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.6.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.6.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 8.2.7

一的任意次幂都为一。

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1}{4})$

解题步骤 8.2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (12 - \frac{3}{4})$

解题步骤 8.2.9

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 8.2.10

组合 $12$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 8.2.11

在公分母上合并分子。

$2 \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

解题步骤 8.2.12

化简分子。

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解题步骤 8.2.12.1

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$2 \frac{48 - 3}{4}$

解题步骤 8.2.12.2

从 $48$ 中减去 $3$ 。

$2 (\frac{45}{4})$

解题步骤 8.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{45}{4}$ 。

$\frac{2 \cdot 45}{4}$

解题步骤 8.2.14

将 $2$ 乘以 $45$ 。

$\frac{90}{4}$

解题步骤 8.2.15

约去 $90$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.15.1

从 $90$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (45)}{4}$

解题步骤 8.2.15.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.15.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.15.2.3

重写表达式。

$\frac{45}{2}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{45}{2}$

小数形式：

$22.5$

带分数形式：

$22 \frac{1}{2}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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