微积分学示例

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ 。

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.2.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.2.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.5.2.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 3.2.5.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

解题步骤 3.2.6

化简。

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解题步骤 3.2.6.1

运用分配律。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

解题步骤 3.2.6.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

解题步骤 3.2.6.3

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.6.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{\ln (x)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

解题步骤 5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sqrt{x}}^{x}$ 。

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

解题步骤 5.4

将 $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

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