微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $- \frac{y}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

解题步骤 1.2.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

解题步骤 1.2.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

从 $y - y x$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4.3

从 $- y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4.4

从 $y \cdot 1 + y (- x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $y$ 乘以 $1 - x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

解题步骤 1.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

乘以 $(1 - x) x^{- 2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.7

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.8

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ 。

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

解题步骤 3.6.3

将 $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.3.1.1

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

解题步骤 3.6.3.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$

微积分学 示例

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