基础数学示例

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

用 $b + 9$ 除以 $1$ 。

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $b^{2} + b - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 2

要将 $b$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ 。

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $b$ 和 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ 。

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(b - 2) (b + 3)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.2.2

从 $3 b$ 中减去 $2 b$ 。

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.4.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.4.3

将 $- 6$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 4.5

使用有理根检验法因式分解 $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ 。

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解题步骤 4.5.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.5.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 4.5.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.5.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.5.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.5.3.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 - 6 + 4$

解题步骤 4.5.3.6

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 4.5.3.7

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 4.5.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $b - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

解题步骤 4.5.5

用 $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ 除以 $b - 1$ 。

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解题步骤 4.5.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

解题步骤 4.5.5.2

将被除数中的最高阶项 $b^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $b$ 。

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

解题步骤 4.5.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

解题步骤 4.5.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $b^{3} - b^{2}$ 中的所有符号

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

解题步骤 4.5.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

解题步骤 4.5.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

解题步骤 4.5.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 b^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $b$ 。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

解题步骤 4.5.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

解题步骤 4.5.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 b^{2} - 2 b$ 中的所有符号

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

解题步骤 4.5.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

解题步骤 4.5.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

解题步骤 4.5.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 4 b$ 除以除数中的最高阶项 $b$ 。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

解题步骤 4.5.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

解题步骤 4.5.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 b + 4$ 中的所有符号

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

解题步骤 4.5.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

解题步骤 4.5.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$b^{2} + 2 b - 4$

解题步骤 4.5.6

将 $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ 书写为因数的集合。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

解题步骤 5

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ 。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

组合 $9$ 和 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ 。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ 。

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

移动 $b$ 。

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.4

将 $- 4$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1 b^{2}$ 重写为 $- b^{2}$ 。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.3

从 $2 b^{2}$ 中减去 $b^{2}$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.4

从 $- 4 b$ 中减去 $2 b$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.6

将 $9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.7

使用 FOIL 方法展开 $(9 b - 18) (b + 3)$ 。

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解题步骤 7.7.1

运用分配律。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.7.2

运用分配律。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.7.3

运用分配律。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 7.8.1.1

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 7.8.1.1.1

移动 $b$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.8.1.1.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.8.1.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.8.1.3

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.8.2

从 $27 b$ 中减去 $18 b$ 。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.9

将 $b^{2}$ 和 $9 b^{2}$ 相加。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.10

将 $- 6 b$ 和 $9 b$ 相加。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

解题步骤 7.11

从 $4$ 中减去 $54$ 。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$

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