基础数学示例

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{z^{2} - 8 z + 12}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $z^{2} - 8 z + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 8$ 。

$- 6, - 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$

解题步骤 1.2

乘以 $\frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{z - 1}{z - 2}$ 乘以 $\frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ 。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{(z - 2) ((z - 6) (z - 2))}$

解题步骤 1.2.2

对 $z - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} (z - 2) (z - 6)}$

解题步骤 1.2.3

对 $z - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} {(z - 2)}^{1} (z - 6)}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1 + 1} (z - 6)}$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 1.3

将 $6$ 移到 $z - 1$ 的左侧。

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{z + 3}{z - 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{z + 3}{z - 6} \cdot \frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{z + 3}{z - 6}$ 乘以 $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{(z - 6) {(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ 的因式。

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2} + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 ${(z - 2)}^{2}$ 重写为 $(z - 2) (z - 2)$ 。

$\frac{(z + 3) ((z - 2) (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(z - 2) (z - 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{(z + 3) (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{(z + 3) (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 2 z$ 中减去 $2 z$ 。

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4)$ 。

$\frac{z \cdot z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $z$ 乘以 $z^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z^{1} z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{z^{1 + 2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{z^{3} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{z^{3} - 4 z \cdot z + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.3

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

移动 $z$ 。

$\frac{z^{3} - 4 (z \cdot z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.3.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.4

将 $4$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 \cdot z + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.5

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.5.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.6

将 $- 4 z^{2}$ 和 $3 z^{2}$ 相加。

$\frac{z^{3} - z^{2} + 4 z - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.7

从 $4 z$ 中减去 $12 z$ 。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.8

运用分配律。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z + 6 \cdot - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.9

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z - 6) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.10

运用分配律。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z \cdot z - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.11

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.11.1

移动 $z$ 。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z \cdot z) - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.11.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z^{2} - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.12

将 $- z^{2}$ 和 $6 z^{2}$ 相加。

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 8 z + 12 - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

解题步骤 5.13

从 $- 8 z$ 中减去 $6 z$ 。

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 14 z + 12}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

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