基础数学示例

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ 。

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.4

化简。

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.5

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ 。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6.3

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{6} - 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6.4

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.6.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7

将 $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})$

解题步骤 1.8

将 $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

解题步骤 1.9

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.11

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.11.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.11.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12

化简每一项。

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解题步骤 1.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12.5

将 $- 1 \sqrt{5}$ 重写为 $- \sqrt{5}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.12.6

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - (\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} - - \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

乘以 $- - \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + 1 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

从 $\sqrt{6}$ 中减去 $\sqrt{6}$ 。

$\frac{0 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2

从 $0$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{2} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.6

从 $- (\sqrt{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.7

从 $- \sqrt{10}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8

从 $- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.9

从 $\sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.10

从 $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.11

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 4.12

从 $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 4.13

化简表达式。

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解题步骤 4.13.1

将 $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 4.13.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.06183918 \dots$

基础数学 示例

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