基础数学示例

$\frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $a^{2} + 3 a - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

解题步骤 1.3

约去 $a - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a + 4}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4}$

解题步骤 3

要将 $\frac{1}{a + 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ 。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ 乘以 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{a + 4}$ 乘以 $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ 。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ 的因式。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(a + 4) ((a + 1) (a - 1))$ 的因式。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{a + 4 + (a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(a + 1) (a - 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{a + 4 + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a + 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1 a$ 重写为 $- a$ 。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- a$ 和 $a$ 相加。

$\frac{a + 4 + a^{2} + 0 - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.2.3

将 $a^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{a + a^{2} + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{a^{2} + a + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

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