基础数学示例

$\frac{k^{2} - 2 k - 35}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $k^{2} - 2 k - 35$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 35$ ，和为 $- 2$ 。

$- 7, 5$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

解题步骤 2

将 $8$ 和 $15$ 相加。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

从 $k^{3} - 9 k$ 中分解出因数 $k$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $k^{3}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} - 9 k}{k^{3} - 27}$

解题步骤 3.1.2

从 $- 9 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k \cdot - 9}{k^{3} - 27}$

解题步骤 3.1.3

从 $k \cdot k^{2} + k \cdot - 9$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 9)}{k^{3} - 27}$

解题步骤 3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 3^{2})}{k^{3} - 27}$

解题步骤 3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = k$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 27}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 3^{3}}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = k$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + k \cdot 3 + 3^{2})}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 移到 $k$ 的左侧。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 \cdot k + 3^{2})}$

解题步骤 4.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

约去 $k - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23}$ 乘以 $\frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$ 。

$\frac{(k - 7) (k + 5) (k (k + 3))}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{(k - 7) (k + 5) k (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{k (k - 7) (k + 5) (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$

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