基础数学示例

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- k$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - (k) - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 1$ 重写为 $2$ 加 $- 3$

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + (2 - 3) k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + 2 k - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(2 k^{2} + 2 k) - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k (k + 1) - 3 (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.2

约去 $k + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

解题步骤 2

要将 $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{k + 2}{k + 2}$ 。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{2 k - 3}{k + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ 。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ 乘以 $\frac{k + 2}{k + 2}$ 。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2 k - 3}{k + 2}$ 乘以 $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ 。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ 的因式。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(k + 2) ((k + 1) (k - 1))$ 的因式。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{k^{2} (k + 2) - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{k^{3} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$\frac{k^{3} + 2 \cdot k^{2} - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- (2 k) - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.7

使用 FOIL 方法展开 $(k + 1) (k - 1)$ 。

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解题步骤 6.7.1

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k (k - 1) + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.7.2

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.7.3

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 6.8.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.1.2

将 $- 1$ 移到 $k$ 的左侧。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1 \cdot k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.1.3

将 $- 1 k$ 重写为 $- k$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.1.4

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.2

将 $- k$ 和 $k$ 相加。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + 0 - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.8.3

将 $k^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.9

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 k + 3) (k^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 6.9.1

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k (k^{2} - 1) + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.9.2

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.9.3

运用分配律。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10

化简每一项。

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解题步骤 6.10.1

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

移动 $k^{2}$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10.1.2

将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 6.10.1.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k^{1}) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2 + 1} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.10.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.11

从 $k^{3}$ 中减去 $2 k^{3}$ 。

$\frac{- k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 6.12

将 $2 k^{2}$ 和 $3 k^{2}$ 相加。

$\frac{- k^{3} + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $- k^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3}) + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.2

从 $5 k^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3}) - (- 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.3

从 $- (k^{3}) - (- 5 k^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.4

从 $2 k$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.5

从 $- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.6

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.7

从 $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.8

化简表达式。

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解题步骤 7.8.1

将 $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ 重写为 $- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ 。

$\frac{- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

解题步骤 7.8.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

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