基础数学示例

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \div \frac{35 n^{2} + 34 n - 21}{n^{2} - 8 n + 7}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

从 $75 n^{2} - 147$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $75 n^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (25 n^{2}) - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2.1.2

从 $- 147$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2.1.3

从 $3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (25 n^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2.2

将 $25 n^{2}$ 重写为 ${(5 n)}^{2}$ 。

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2.3

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 7^{2})}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5 n$ 和 $b = 7$ 。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 7 = 35$ 并且它们的和为 $b = - 12$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 12 n$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 (n) + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3.1.2

把 $- 12$ 重写为 $- 5$ 加 $- 7$

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} + (- 5 - 7) n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 5 n - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(5 n^{2} - 5 n) - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n (n - 1) - 7 (n - 1)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $n - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 4

约去 $5 n - 7$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $n^{2} - 8 n + 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $7$ ，和为 $- 8$ 。

$- 7, - 1$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

解题步骤 6

分组因式分解。

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解题步骤 6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 35 \cdot - 21 = - 735$ 并且它们的和为 $b = 34$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $34 n$ 中分解出因数 $34$ 。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 (n) - 21}$

解题步骤 6.1.2

把 $34$ 重写为 $- 15$ 加 $49$

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + (- 15 + 49) n - 21}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} - 15 n + 49 n - 21}$

解题步骤 6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(35 n^{2} - 15 n) + 49 n - 21}$

解题步骤 6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{5 n (7 n - 3) + 7 (7 n - 3)}$

解题步骤 6.3

通过因式分解出最大公因数 $7 n - 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

解题步骤 7

约去 $5 n + 7$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $3 (5 n + 7)$ 中分解出因数 $5 n + 7$ 。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

解题步骤 7.2

从 $(7 n - 3) (5 n + 7)$ 中分解出因数 $5 n + 7$ 。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

解题步骤 7.3

约去公因数。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

解题步骤 7.4

重写表达式。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{7 n - 3}$

解题步骤 8

约去 $n - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $(n - 7) (n - 1)$ 中分解出因数 $n - 1$ 。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$3 \frac{n - 7}{7 n - 3}$

解题步骤 9

组合 $3$ 和 $\frac{n - 7}{7 n - 3}$ 。

$\frac{3 (n - 7)}{7 n - 3}$

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