基础数学示例

$\frac{8 v + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

从 $8 v + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $8 v$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 v) + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 v) + 2 (1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.1.3

从 $2 (4 v) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 v^{2} - 3 v - 18$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $3 v^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- 3 v$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $- 18$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2.1.4

从 $3 (v^{2}) + 3 (- v)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2.1.5

从 $3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v - 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.2.2

使用 AC 法来对 $v^{2} - v - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 1.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 ((v - 3) (v + 2))} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.3

约去 $9$ 和 $3 v^{2} - 12 v + 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $3 v^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) - 12 v + 9}$

解题步骤 1.3.2.2

从 $- 12 v$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) + 3 (- 4 v) + 9}$

解题步骤 1.3.2.3

从 $3 (v^{2}) + 3 (- 4 v)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 9}$

解题步骤 1.3.2.4

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)}$

解题步骤 1.3.2.5

从 $3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

解题步骤 1.3.2.6

约去公因数。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

解题步骤 1.3.2.7

重写表达式。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{v^{2} - 4 v + 3}$

解题步骤 1.4

使用 AC 法来对 $v^{2} - 4 v + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{v - 1}{v - 1}$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ 。

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ 乘以 $\frac{v - 1}{v - 1}$ 。

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ 乘以 $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ 。

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ 的因式。

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))$ 的因式。

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1) + 3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(2 (4 v) + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(8 v + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(8 v + 2) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.4

使用 FOIL 方法展开 $(8 v + 2) (v - 1)$ 。

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解题步骤 6.4.1

运用分配律。

$\frac{8 v (v - 1) + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.4.2

运用分配律。

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.4.3

运用分配律。

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1.1

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 6.5.1.1.1

移动 $v$ 。

$\frac{8 (v \cdot v) + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.5.1.1.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{8 v^{2} + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.5.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.5.2

将 $- 8 v$ 和 $2 v$ 相加。

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 9 \cdot 2}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.8

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.9

将 $- 6 v$ 和 $9 v$ 相加。

$\frac{8 v^{2} + 3 v - 2 + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

解题步骤 6.10

将 $- 2$ 和 $18$ 相加。

$\frac{8 v^{2} + 3 v + 16}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

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