基础数学示例

$\frac{a}{a^{2} - 36} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{a}{a^{2} - 6^{2}} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $a^{2} - 2 a - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 2$ 。

$- 6, 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 。

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 6}{a + 6}$ 。

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ 乘以 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 。

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ 乘以 $\frac{a + 6}{a + 6}$ 。

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ 的因式。

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(a - 6) (a + 4) (a + 6)$ 的因式。

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{a (a + 4) + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{a \cdot a + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a^{2} + 4 \cdot a + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.4

使用 FOIL 方法展开 $(a - 10) (a + 6)$ 。

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解题步骤 6.4.1

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 4 a + a (a + 6) - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.4.2

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.4.3

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.5.1.2

将 $6$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 \cdot a - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.5.1.3

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 a - 10 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.5.2

从 $6 a$ 中减去 $10 a$ 。

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.6

将 $a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$\frac{2 a^{2} + 4 a - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.7

从 $4 a$ 中减去 $4 a$ 。

$\frac{2 a^{2} + 0 - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.8

将 $2 a^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 a^{2} - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.9

从 $2 a^{2} - 60$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.9.1

从 $2 a^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (a^{2}) - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.9.2

从 $- 60$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 a^{2} + 2 \cdot - 30}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

解题步骤 6.9.3

从 $2 a^{2} + 2 \cdot - 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (a^{2} - 30)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

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