基础数学示例

$\frac{a}{a^{2} - 16} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{a}{a^{2} - 4^{2}} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $a^{2} + 5 a + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a - 4}{a - 4}$ 。

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ 乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ 乘以 $\frac{a - 4}{a - 4}$ 。

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ 的因式。

$\frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{a (a + 1) - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} + a - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{a^{2} + a - 3 a - 3 \cdot - 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6.5

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{a^{2} + a - 3 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

解题步骤 6.6

从 $a$ 中减去 $3 a$ 。

$\frac{a^{2} - 2 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

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