基础数学示例

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \div \frac{7 p^{2} - 13 p - 2}{10 p^{2} - 13 p - 3}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ 并且它们的和为

$b = - 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

从

$- 5 p$ 中分解出因数

$- 5$ 。

$\frac{3 p^{2} - 5 (p) - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.1.2

把

$- 5$ 重写为

$1$ 加

$- 6$

$\frac{3 p^{2} + (1 - 6) p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 p^{2} + 1 p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.1.4

将

$p$ 乘以

$1$ 。

$\frac{3 p^{2} + p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 p^{2} + p) - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{p (3 p + 1) - 2 (3 p + 1)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数

$3 p + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对

$y^{2} + y - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 2$ ，和为

$1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对

$y^{2} + 5 y - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 6$ ，和为

$5$ 。

$- 1, 6$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ 并且它们的和为

$b = 8$ 。

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解题步骤 5.1.1

从

$8 p$ 中分解出因数

$8$ 。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 (p) + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5.1.2

把

$8$ 重写为

$3$ 加

$5$

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + (3 + 5) p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 3 p + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(15 p^{2} + 3 p) + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{3 p (5 p + 1) + 1 (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数

$5 p + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(5 p + 1) (3 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 6

约去

$3 p + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从

$(5 p + 1) (3 p + 1)$ 中分解出因数

$3 p + 1$ 。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 7

约去

$y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{p - 2}{y + 2} \cdot \frac{y + 6}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 8

将

$\frac{p - 2}{y + 2}$ 乘以

$\frac{y + 6}{5 p + 1}$ 。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9

分组因式分解。

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解题步骤 9.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ 并且它们的和为

$b = - 13$ 。

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解题步骤 9.1.1

从

$- 13 p$ 中分解出因数

$- 13$ 。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 (p) - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9.1.2

把

$- 13$ 重写为

$2$ 加

$- 15$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + (2 - 15) p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + 2 p - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(10 p^{2} + 2 p) - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{2 p (5 p + 1) - 3 (5 p + 1)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 9.3

通过因式分解出最大公因数

$5 p + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

解题步骤 10

分组因式分解。

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解题步骤 10.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 7 \cdot - 2 = - 14$ 并且它们的和为

$b = - 13$ 。

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解题步骤 10.1.1

从

$- 13 p$ 中分解出因数

$- 13$ 。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 (p) - 2}$

解题步骤 10.1.2

把

$- 13$ 重写为

$1$ 加

$- 14$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + (1 - 14) p - 2}$

解题步骤 10.1.3

运用分配律。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + 1 p - 14 p - 2}$

解题步骤 10.1.4

将

$p$ 乘以

$1$ 。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + p - 14 p - 2}$

解题步骤 10.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 10.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p^{2} + p) - 14 p - 2}$

解题步骤 10.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{p (7 p + 1) - 2 (7 p + 1)}$

解题步骤 10.3

通过因式分解出最大公因数

$7 p + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p + 1) (p - 2)}$

解题步骤 11

约去

$p - 2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

从

$(7 p + 1) (p - 2)$ 中分解出因数

$p - 2$ 。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$\frac{y + 6}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

解题步骤 12

约去

$5 p + 1$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从

$(y + 2) (5 p + 1)$ 中分解出因数

$5 p + 1$ 。

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{y + 6}{y + 2} \cdot \frac{2 p - 3}{7 p + 1}$

解题步骤 13

将

$\frac{y + 6}{y + 2}$ 乘以

$\frac{2 p - 3}{7 p + 1}$ 。

$\frac{(y + 6) (2 p - 3)}{(y + 2) (7 p + 1)}$

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