基础数学示例

$\frac{3 a}{a^{2} - 4 a - 5} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $a^{2} - 4 a - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $- 4$ 。

$- 5, 1$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $a^{2} - 9 a + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $20$ ，和为 $- 9$ 。

$- 5, - 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a - 4}{a - 4}$ 。

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ 乘以 $\frac{a - 4}{a - 4}$ 。

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ 乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ 的因式。

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(a - 5) (a - 4) (a + 1)$ 的因式。

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 a (a - 4) + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{3 a \cdot a + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $a$ 。

$\frac{3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{3 a^{2} + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.3

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4 \cdot 1}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.6

将 $- 12 a$ 和 $4 a$ 相加。

$\frac{3 a^{2} - 8 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7

分组因式分解。

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解题步骤 6.7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

从 $- 8 a$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$\frac{3 a^{2} - 8 (a) + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7.1.2

把 $- 8$ 重写为 $- 2$ 加 $- 6$

$\frac{3 a^{2} + (- 2 - 6) a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7.1.3

运用分配律。

$\frac{3 a^{2} - 2 a - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 a^{2} - 2 a) - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{a (3 a - 2) - 2 (3 a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

解题步骤 6.7.3

通过因式分解出最大公因数 $3 a - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 a - 2) (a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

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