基础数学示例

$\frac{w}{w^{2} + 6 w + 9} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{w}{w^{2} + 6 w + 3^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

解题步骤 1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 w = 2 \cdot w \cdot 3$

解题步骤 1.1.3

重写多项式。

$\frac{w}{w^{2} + 2 \cdot w \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

解题步骤 1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = w$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

解题步骤 1.2

从 $w^{2} + 9 w$ 中分解出因数 $w$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $w^{2}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w \cdot w + 9 w} + 18$

解题步骤 1.2.2

从 $9 w$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w \cdot w + w \cdot 9} + 18$

解题步骤 1.2.3

从 $w \cdot w + w \cdot 9$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w (w + 9)} + 18$

解题步骤 2

要将 $\frac{w}{{(w + 3)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{w (w + 9)}{w (w + 9)}$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} \cdot \frac{w (w + 9)}{w (w + 9)} + \frac{3}{w (w + 9)} + 18$

解题步骤 3

要将 $\frac{3}{w (w + 9)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} \cdot \frac{w (w + 9)}{w (w + 9)} + \frac{3}{w (w + 9)} \cdot \frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}} + 18$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{w}{{(w + 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{w (w + 9)}{w (w + 9)}$ 。

$\frac{w (w (w + 9))}{{(w + 3)}^{2} (w (w + 9))} + \frac{3}{w (w + 9)} \cdot \frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}} + 18$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{w (w + 9)}$ 乘以 $\frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{w (w (w + 9))}{{(w + 3)}^{2} (w (w + 9))} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}} + 18$

解题步骤 4.3

重新排序 ${(w + 3)}^{2} (w (w + 9))$ 的因式。

$\frac{w (w (w + 9))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}} + 18$

解题步骤 4.4

重新排序 $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ 的因式。

$\frac{w (w (w + 9))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{w (w (w + 9)) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 6.1.1

移动 $w$ 。

$\frac{w \cdot w (w + 9) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.1.2

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{w^{2} (w + 9) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{w^{2} w + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{w^{2} w^{1} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{w^{2 + 1} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{w^{3} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.4

将 $9$ 移到 $w^{2}$ 的左侧。

$\frac{w^{3} + 9 \cdot w^{2} + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.5

将 ${(w + 3)}^{2}$ 重写为 $(w + 3) (w + 3)$ 。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 ((w + 3) (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.6

使用 FOIL 方法展开 $(w + 3) (w + 3)$ 。

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解题步骤 6.6.1

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w (w + 3) + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.6.2

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.6.3

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1.1

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.7.1.2

将 $3$ 移到 $w$ 的左侧。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 3 \cdot w + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.7.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 3 w + 3 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.7.2

将 $3 w$ 和 $3 w$ 相加。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 6 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 3 (6 w) + 3 \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 18 w + 3 \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.9.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 6.10

将 $9 w^{2}$ 和 $3 w^{2}$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

解题步骤 7

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18 \cdot \frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$

解题步骤 8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 8.1

组合 $18$ 和 $\frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2

重新排序 $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ 的因式。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w \cdot w + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.2

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 10.2.1

移动 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 (w \cdot w) + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.2.2

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.3

将 $9$ 乘以 $18$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.4

将 ${(w + 3)}^{2}$ 重写为 $(w + 3) (w + 3)$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) ((w + 3) (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.5

使用 FOIL 方法展开 $(w + 3) (w + 3)$ 。

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解题步骤 10.5.1

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w (w + 3) + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.5.2

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.5.3

运用分配律。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.6.1

化简每一项。

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解题步骤 10.6.1.1

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.6.1.2

将 $3$ 移到 $w$ 的左侧。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 3 \cdot w + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 3 w + 3 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.6.2

将 $3 w$ 和 $3 w$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 6 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 6 w + 9)$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{2} w^{2} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8

化简每一项。

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解题步骤 10.8.1

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 10.8.1.1

移动 $w^{2}$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 (w^{2} w^{2}) + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{2 + 2} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{2} w + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.3

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 10.8.3.1

移动 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 (w \cdot w^{2}) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.3.2

将 $w$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 10.8.3.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 (w^{1} w^{2}) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{1 + 2} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{3} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.4

将 $18$ 乘以 $6$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.5

将 $9$ 乘以 $18$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.6

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 10.8.6.1

移动 $w^{2}$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 (w^{2} w) + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.6.2

将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 10.8.6.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 (w^{2} w^{1}) + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{2 + 1} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 w \cdot w + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.8

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 10.8.8.1

移动 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 (w \cdot w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.8.2

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 w^{2} + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.9

将 $162$ 乘以 $6$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 972 w^{2} + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.8.10

将 $9$ 乘以 $162$ 。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 972 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.9

将 $108 w^{3}$ 和 $162 w^{3}$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 270 w^{3} + 162 w^{2} + 972 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.10

将 $162 w^{2}$ 和 $972 w^{2}$ 相加。

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 270 w^{3} + 1134 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.11

将 $w^{3}$ 和 $270 w^{3}$ 相加。

$\frac{271 w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 1134 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.12

将 $12 w^{2}$ 和 $1134 w^{2}$ 相加。

$\frac{271 w^{3} + 1146 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.13

将 $18 w$ 和 $1458 w$ 相加。

$\frac{271 w^{3} + 1146 w^{2} + 1476 w + 27 + 18 w^{4}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

解题步骤 10.14

重新排序项。

$\frac{18 w^{4} + 271 w^{3} + 1146 w^{2} + 1476 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

基础数学 示例

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