基础数学示例

$\frac{3 \sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{3 \sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{3 \sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(3 \sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(3 \sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{33} + \sqrt{33} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$\frac{(3 \sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(3 \sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{11} \sqrt{11} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{11} \sqrt{11} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $3 \sqrt{11} \sqrt{11}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}) + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.1.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}) + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {\sqrt{11}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 {\sqrt{11}}^{2} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 11^{1} + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.2.5

计算指数。

$\frac{3 \cdot 11 + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.3

将 $3$ 乘以 $11$ 。

$\frac{33 + 3 \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.4

乘以 $3 \sqrt{11} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{11} \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{33 - 3 \sqrt{3 \cdot 11} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.4.3

将 $3$ 乘以 $11$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.5

乘以 $- \sqrt{3} \sqrt{11}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.5.2

将 $11$ 乘以 $3$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 4.1.6

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 4.1.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 4.1.6.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{8}$

解题步骤 4.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

解题步骤 4.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

解题步骤 4.1.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

解题步骤 4.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

解题步骤 4.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 4.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.4.1

约去公因数。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 4.1.7.4.2

重写表达式。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{1}}{8}$

解题步骤 4.1.7.5

计算指数。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3}{8}$

解题步骤 4.2

将 $33$ 和 $3$ 相加。

$\frac{36 - 3 \sqrt{33} - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 4.3

从 $- 3 \sqrt{33}$ 中减去 $\sqrt{33}$ 。

$\frac{36 - 4 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5

约去 $36 - 4 \sqrt{33}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9) - 4 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.2

从 $- 4 \sqrt{33}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9) + 4 (- \sqrt{33})}{8}$

解题步骤 5.3

从 $4 (9) + 4 (- \sqrt{33})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 - \sqrt{33})}{8}$

解题步骤 5.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 - \sqrt{33})}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$\frac{4 (9 - \sqrt{33})}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$\frac{9 - \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9 - \sqrt{33}}{2}$

小数形式：

$1.62771867 \dots$

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