基础数学示例

$x^{3} - x^{2} - 5 x - 3 > 0$

解题步骤 1

把不等式转换成方程。

$x^{3} - x^{2} - 5 x - 3 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 2.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 1 - 5 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 2.1.3.5

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- 2 - 5 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 5 - 3$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$3 - 3$

解题步骤 2.1.3.8

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - x^{2} - 5 x - 3}{x + 1}$

解题步骤 2.1.5

用 $x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x - 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x - 3$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

解题步骤 2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 1) (x - 3) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 3$

解题步骤 7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > 3$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x > 3$

区间计数法：

$(3, \infty)$

解题步骤 9

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